题目链接： https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/

视频题解： https://www.bilibili.com/video/BV17q421c7Gs/

LeetCode 53. 最大子数组和

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

举个例子：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

视频讲解

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思路解析

本题可以通过暴力循环来解，但是时间复杂度太大，暴力解法也不是出题的意图。我们还可以通过动态规划来解此题，动态规划的关键就是推导状态转移公式，下面我们来一步步推导此题的状态转移公式。

定义cur_max[i]为以nums中第i个元素结尾，子数组和的最大值，其中0 <= i < nums.size。在推导cur_max[i]的过程中会枚举以nums中任意元素结尾，和最大的子数组。最终我们从cur_max[i]中选择最大的一个即是最终要返回的结果。

1. 考虑数组元素全部都是大于等于0的场景：

在这种场景下，因为元素都是正数，不难看出cur_max[i] = cur_max[i-1] + nums[i]。

2. 考虑数组元素包含负数的场景：

由于cur_max[0] = -1，负数加上一个数会导致和变的更小。那么cur_max[1] != cur_max[0] + nums[1]，正确的结果为cur_max[1] = nums[1]。进一步优化转移公式为cur_max[i] = max{cur_max[i-1] + nums[i], nums[i]}。

实现优化

上面的状态转移公式如果用代码来实现需要用到一个跟nums长度一致的数组cur_max。因为题目要求找到子数组最大的和，我们不需要把每个子数组的状态都保存下来，只保存上一个状态就可以。使用一个整型变量max_res来保存全局的最大和。

C++代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int max_res = nums[0];
        int cur_max = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.size(); ++i){
            //状态转移公式
            cur_max = max(cur_max + nums[i], nums[i]);
            max_res = max(max_res, cur_max);
        }
        return max_res;
    }
};

java代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int maxRes = nums[0];
        int curMax = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
            //状态转移公式
            curMax = Math.max(curMax + nums[i], nums[i]);
            maxRes = Math.max(maxRes, curMax);
        }
        return maxRes;
    }
}

python代码

 class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        maxRes = nums[0]
        curMax = nums[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            #状态转移公式
            curMax = max(curMax + nums[i], nums[i])
            maxRes = max(maxRes, curMax)
        return maxRes

复杂度分析

时间复杂度： 由于只需要遍历一遍nums，故时间复杂度为O(n)，其中n为nums的长度。

空间复杂度： 整个过程只使用了两个整型变量，所以空间复杂度为O(1)。